设矩阵$A$,特征值$\lambda$, 单位矩阵$E$, 未知解向量X
特征值和特征向量
特征向量：在线性变换中，基向量张成空间内不改变方向/维度，只发生线性变化的向量。
特征值：上述向量在变换中在其方向上伸缩的比值。负值即为翻转。
求特征值，特征向量：
由特征方程
$$
|\lambda E - A| = 0
$$
解出所有$\lambda$可能取值，即为特征值。
将解的特征值带回
$$
(\lambda E - A)X = \mathbf 0
$$
解得所有特征值对应解向量，即为特征向量。
对于求解特征值:
对特征行列式消去非$\mathbf \lambda$元素, 取得公因子*。
e.g.
$$
\begin{split}
&\begin{vmatrix}
\lambda - 1 & -2 & -3 \\
-2 & \lambda - 1 & -3 \\
-3 & -3 & \lambda - 6
\end{vmatrix}
\xlongequal{r3 + r1(-1)}
\begin{vmatrix}
\lambda + 1 & -1 - \lambda & 0 \\
-2 & \lambda - 1 & -3 \\
-3 & -3 & \lambda - 6
\end{vmatrix}
\xlongequal{c1 + c2}
\begin{vmatrix}
\lambda + 1 & 0 & 0 \\
-2 & \lambda - 3 & -3 \\
-3 & -6 & \lambda - 6
\end{vmatrix}\\
&=(-1)^{1+1}
(\lambda + 1)
\begin{vmatrix}
\lambda - 3 & -3 \\
-6 & \lambda - 6
\end{vmatrix}
=(\lambda + 1)[(\lambda - 3)(\lambda - 6) - 18] \\
&= (\lambda - 1)(\lambda + 9) \cdot \lambda
\end{split}
$$
解得
$$
\boxed{\lambda1 = 1, \lambda2 = -9, \lambda_3 = 0}
$$
---
hint：
关于$A$的若干性质：
- 设$A$的特征值为$\lambda1$，$\lambda2$，$\lambda_3$，则
$$ \begin{split} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} &=\lambda1 \lambda2 \lambda3 \\ \mathrm{tr}(A) &= \lambda1+\lambda2+\lambda3 \end{split} $$
- 若$\lambda$为$A$的特征值，$\alpha$为$\lambda$对应的特征向量，则
$$ \underline {A \alpha = A \lambda} $$
| $A$ | $A^2$ | $f(A)$ | $A^{-1}$ | $A^*$ | $A^T$ | $\beta = P^{-1}AP$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 特征值 | $\lambda$ | $\lambda^2$ | $f(\lambda)$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}{\lambda}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 特征向量 | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | 不确定 | $\alpha$ |
- 若$A$为$n$阶矩阵，且有$n$个互异特征值$\lambda1$，$\lambda2$，...，$\lambdan$，则对应的特征向量$\alpha1$，$\alpha2$，...，$\alphan$线性无关。
对角化
矩阵$A$可对角化的充分必要条件：
$A$有$n$个线性无关的特征向量。
设$A$的$n$个线性无关的特征向量为$\alpha1$，$\alpha2$，...，$\alphan$，对应的特征值为$\lambda1$，$\lambda2$，...，$\lambdan$，则构造矩阵
$$
\begin{split}
P &= (\alpha1 \ \alpha2 \ ... \ \alphan) \\
D &=
\begin{pmatrix}
\lambda1 & 0 & ... & 0 \\
0 & \lambda2 & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & ... & \lambdan
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
则有 $$ \underline {P^{-1}AP = D} $$ 即$A$相似于对角矩阵$D$，称$A$可对角化。
若矩阵$A$正交，则其特征向量组可正交化，且可构成正交矩阵$P$，即$P^{-1} = P^T$。
线性变换与矩阵
线性变换：
设$V$，$W$为两个线性空间，映射$T: V \to W$，若对任意$\alpha$，$\beta \in V$及任意标量$k$均有
$$
\begin{split}
T(\alpha + \beta) &= T(\alpha) + T(\beta) \\
T(k\alpha) &= kT(\alpha)
\end{split}
$$
则称$T$为从$V$到$W$的线性变换。
矩阵是对线性变换的表示。
设$T: V \to W$为线性变换，$\alpha \in V$，$\beta \in W$，且有$\beta = T(\alpha)$。
设$V$，$W$的基分别为${\alpha1, \alpha2, ..., \alphan}$，${\beta1, \beta2, ..., \betam}$，则存在唯一的$m \times n$矩阵$A$，使得
$$
[\beta] = A[\alpha]
$$
其中$[\alpha]$，$[\beta]$分别为$\alpha$，$\beta$在各自基下的坐标向量。
矩阵$A$称为线性变换$T$在基${\alpha1, \alpha2, ..., \alphan}$，${\beta1, \beta2, ..., \betam}$下的矩阵表示。
施密特正交化过程：
设$V$为内积空间，$\alpha1, \alpha2, ..., \alphan$为$V$中线性无关的向量组，定义向量组$\beta1, \beta2, ..., \betan$如下：
$$
\begin{split}
\beta_1 &= \alpha_1 \\
\beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 \\
\beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 \\
...\\
\beta_n &= \alpha_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{(\alpha_n, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)}\beta_i\end{split} $$