设矩阵$A$,特征值$\lambda$, 单位矩阵$E$, 未知解向量X

特征值和特征向量

特征向量：在线性变换中，基向量张成空间内不改变方向/维度，只发生线性变化的向量。
特征值：上述向量在变换中在其方向上伸缩的比值。负值即为翻转。
求特征值，特征向量：
由特征方程 $$|\lambda E-A|=0$$解出所有$\lambda$可能取值，即为特征值。
将解的特征值带回 $$(\lambda E-A)X=0$$解得所有特征值对应解向量，即为特征向量。

对于求解特征值:
对特征行列式消去非$\lambda$元素, 取得公因子*。
e.g. $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& -3\\ & & \\ -2& \lambda -1& -3\\ & & \\ -3& -3& \lambda -6\end{array}\right|\stackrel{r3+r1(-1)}{=}\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -1-\lambda & 0\\ & & \\ -2& \lambda -1& -3\\ & & \\ -3& -3& \lambda -6\end{array}\right|\stackrel{c1+c2}{=}\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& 0& 0\\ & & \\ -2& \lambda -3& -3\\ & & \\ -3& -6& \lambda -6\end{array}\right|\\ & \\ & =(-1{)}^{1+1}(\lambda +1)\left|\begin{array}{cc}\lambda -3& -3\\ & \\ -6& \lambda -6\end{array}\right|=(\lambda +1)[(\lambda -3)(\lambda -6)-18]\\ & \\ & =(\lambda -1)(\lambda +9)\cdot \lambda \end{array}$$解得 $$\boxed{{\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-9,{\lambda }_3=0}$$

--- hint：
关于$A$的若干性质：

• 设$A$的特征值为${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，${\lambda }_3$，则

• 若$\lambda$为$A$的特征值，$\alpha$为$\lambda$对应的特征向量，则

• 若$A$为$n$阶矩阵，且有$n$个互异特征值${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，...，${\lambda }_n$，则对应的特征向量${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，...，${\alpha }_n$线性无关。

对角化

矩阵$A$可对角化的充分必要条件：
$A$有$n$个线性无关的特征向量。
设$A$的$n$个线性无关的特征向量为${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，...，${\alpha }_n$，对应的特征值为${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，...，${\lambda }_n$，则构造矩阵 $$\begin{array}{rl}P& =({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)\\ & \\ D& =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& ...& 0\\ & & & \\ 0& {\lambda }_2& ...& 0\\ & & & \\ ...& ...& ...& ...\\ & & & \\ 0& 0& ...& {\lambda }_n\end{array}\right)\end{array}$$

则有 $$\underline{P^{-1}AP=D}$$即$A$相似于对角矩阵$D$，称$A$可对角化。

若矩阵$A$正交，则其特征向量组可正交化，且可构成正交矩阵$P$，即$P^{-1}=P^T$。

线性变换与矩阵

线性变换： 设$V$，$W$为两个线性空间，映射$T:V\to W$，若对任意$\alpha$，$\beta \in V$及任意标量$k$均有 $$\begin{array}{rl}T(\alpha +\beta )& =T(\alpha )+T(\beta )\\ & \\ T(k\alpha )& =kT(\alpha )\end{array}$$则称$T$为从$V$到$W$的线性变换。
矩阵是对线性变换的表示。 设$T:V\to W$为线性变换，$\alpha \in V$，$\beta \in W$，且有$\beta =T(\alpha )$。
设$V$，$W$的基分别为$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n\}$，$\{{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_m\}$，则存在唯一的$m\times n$矩阵$A$，使得 $$[\beta ]=A[\alpha ]$$其中$[\alpha ]$，$[\beta ]$分别为$\alpha$，$\beta$在各自基下的坐标向量。
矩阵$A$称为线性变换$T$在基$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n\}$，$\{{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_m\}$下的矩阵表示。

施密特正交化过程：
设$V$为内积空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$为$V$中线性无关的向量组，定义向量组${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$如下： $$\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1\\ & \\ {\beta }_2& ={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\\ & \\ {\beta }_3& ={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2\\ & \\ ...& \\ & \\ {\beta }_n& ={\alpha }_n-\sum _{i=1}^{n-1}\frac{({\alpha }_n,{\beta }_i)}{({\beta }_i,{\beta }_i)}{\beta }_i\end{array}$$