分部积分法：

公式： $$ \int u \ \mathrm dv = uv - \int v \ \mathrm du $$ 其中$u$为易微分函数，$\mathrm dv$为易积分函数。

选择$u$的优先级："反对幂三指"/"反对幂指三"

• 反三角函数
• 对数函数
• 幂函数
• 指数函数/三角函数

e.g. $$ \begin{split} \int x^2 \mathrm e^x \ \mathrm d x &= \int x^2 \ \mathrm d \mathrm e^x\\ &= x^2 \mathrm e^x - \int \mathrm e^x \ \mathrm d x^2\\ &= x^2 \mathrm e^x - 2 \int x \mathrm e^x \ \mathrm d x\\ &= x^2 \mathrm e^x - 2\left(x \mathrm e^x - \int \mathrm e^x \ \mathrm d x\right)\\ &= (x^2 - 2x + 2) \mathrm e^x + \mathrm C \end{split}

$$

——适用于本题型的快速积分法： $$ \int x^n \mathrm e^x \ \mathrm d x = (\sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}) \mathrm e^x + \mathrm C $$ 即对$x^n$依次求导，乘以$(-1)^k$后累加，最后乘以$\mathrm e^x$。

e.g.
$$ \begin{split} \int x^2 \cos x \ \mathrm d x &= x^2 \sin x - \int \sin x \ \mathrm d x^2\\ &= x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \ \mathrm d x\\ &= x^2 \sin x - 2\left(-x \cos x + \int \cos x \ \mathrm d x\right)\\ &= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + \mathrm C \end{split} $$

——适用本题型的快速积分法：

将两个函数交替求导/积分，直到其中一个出现原函数为止，将其乘积累加，然后整理方程得出结果。

e.g. $$ \begin{split} \int \mathrm e^{2x} \cos x \ \mathrm d x = \frac 1 5 \mathrm e^{2x}(\sin x + 2 \cos x) + \mathrm C \end{split} $$

——适用此题型的快速积分法： 设$I = \int \mathrm e^{ax} \cos bx \ \mathrm d x$，则有 $$ \begin{split} I &= \frac{

\begin{vmatrix}
\mathrm e^{ax} & \cos bx \\
a \mathrm e^{ax} & -b \sin bx
\end{vmatrix}

}{a^2 + b^2} + \mathrm C \end{split} $$

注意：对于e的指数为其他函数(如$2x$)的情况，需要先整体换元。
考试使用：
由快速积分法得：(formula sheet)