分部积分法：

公式： $$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$其中$u$为易微分函数，$\mathrm{d}v$为易积分函数。

选择$u$的优先级："反对幂三指"/"反对幂指三"

• 反三角函数
• 对数函数
• 幂函数
• 指数函数/三角函数

e.g. $$\begin{array}{rl}\int x^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x& =\int x^2\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x\\ & \\ & =x^2{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}{x}^2\\ & \\ & =x^2{\mathrm{e}}^x-2\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x\\ & \\ & =x^2{\mathrm{e}}^x-2\left(x{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x\right)\\ & \\ & =(x^2-2x+2){\mathrm{e}}^x+\mathrm{C}\end{array}$$

——适用于本题型的快速积分法： $$\int x^n{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=(\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{(n-k)!}{x}^{n-k}){\mathrm{e}}^x+\mathrm{C}$$即对$x^n$依次求导，乘以$(-1{)}^k$后累加，最后乘以${\mathrm{e}}^x$。

e.g.
$$\begin{array}{rl}\int x^2\cos x\mathrm{d}x& =x^2\sin x-\int \sin x\mathrm{d}{x}^2\\ & \\ & =x^2\sin x-2\int x\sin x\mathrm{d}x\\ & \\ & =x^2\sin x-2\left(-x\cos x+\int \cos x\mathrm{d}x\right)\\ & \\ & =x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+\mathrm{C}\end{array}$$

——适用本题型的快速积分法：

将两个函数交替求导/积分，直到其中一个出现原函数为止，将其乘积累加，然后整理方程得出结果。

e.g. $$\begin{array}{r}\int {\mathrm{e}}^{2x}\cos x\mathrm{d}x=\frac{1}{5}{\mathrm{e}}^{2x}(\sin x+2\cos x)+\mathrm{C}\end{array}$$

——适用此题型的快速积分法： 设$I=\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$，则有 $$\begin{array}{rl}I& =\frac{\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{ax}& \cos bx\\ & \\ a{\mathrm{e}}^{ax}& -b\sin bx\end{array}\right|}{a^2+b^2}+\mathrm{C}\end{array}$$

注意：对于e的指数为其他函数(如$2x$)的情况，需要先整体换元。
考试使用：
由快速积分法得：(formula sheet)