常用积分表

所有积分一定要增加常数C！！！

hint: 被积函数的加减可以拆分为两个积分的加减。

第一换元积分法（凑微分）

常用简单凑微分法则：
$$\begin{array}{rl}\int f(\ln x)\frac{1}{x}\mathrm{d}x& =\int f(\ln x)\mathrm{d}\ln x\\ & \\ \int f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x& =-\int f(\frac{1}{x})\mathrm{d}\frac{1}{x}\\ & \\ \int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x& =\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x\\ & \\ \int f(\sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x& =\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}\sqrt{x}\\ & \\ \int f(\tan x){\sec }^{2}x\mathrm{d}x& =\int f(\tan x)\mathrm{d}\tan x\end{array}$$

e.g. $$\begin{array}{rl}& \int x^2\sqrt{x^3+1}\mathrm{d}x\\ & \\ & =\frac{1}{3}\int \sqrt{x^3+1}\mathrm{d}{x}^3\\ & \\ & =\frac{1}{3}\int (x^3+1{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}{x}^3\\ & \\ & =\frac{1}{3}\int (x^3+1{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}{x}^3+1\end{array}$$

例题：

• 解法一：分式化为整数减去分式

• 解法二：分母分子同时乘除因子

• 解法三：（应用第二换元-整体换元法）

令${\mathrm{e}}^x=t$，则有

hint:
$$\begin{gathered} \sin x\cdot \csc x=1 \\ \cos x\cdot \sec x=1 \\ \tan x\cdot \cot x=1 \\ {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1 \\ {\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x \\ {\cot }^{2}x+1={\csc }^{2}x \end{gathered}$$

例题：

求下列不定积分：
(1)$$\int {\tan }^{3}x\mathrm{d}x$$(2)$$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x$$解：

(1) $$\begin{array}{rl}& \int {\tan }^{3}x\mathrm{d}x\\ & \\ & =\int \tan x\cdot {\tan }^{2}x\mathrm{d}x\\ & \\ & =\int \tan x\cdot ({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}x\\ & \\ & =\int \tan x\cdot \mathrm{d}\tan x-\int \tan x\mathrm{d}x\\ & \\ & =\frac{1}{2}{\tan }^{2}x-\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\\ & \\ & =\boxed{\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\ln |\cos x|+\mathrm{C}}\end{array}$$

(2) $$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x\\ & \\ & =\int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{2}x+2}\mathrm{d}x\\ & \\ & =\int \frac{1}{{\tan }^{2}x+2}\mathrm{d}\tan x\\ & \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\frac{ta{n}^{2}x}{2}+1}\mathrm{d}\tan x\\ & \\ & =\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}+\mathrm{C}}\end{array}$$

技巧:
若出现形如 $$\int \frac{1}{a{\sin }^{2}x+b{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x$$的积分，上下同除${\cos }^{2}x$后适用如积分公式 $$\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2}+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+\mathrm{C}$$等。
如分母有$c\sin x\cos x$项亦可适用。

第二换元积分法（整体换元）

根号->三角代换：

当$\int f(x)\text{d}x$的$f(x)$中含有$\sqrt{a^2-x^2}$时,
令$x=a\sin t$.
当$\int f(x)\text{d}x$的$f(x)$中含有$\sqrt{a^2+x^2}$时,
令$x=a\tan t$.
当$\int f(x)\text{d}x$的$f(x)$中含有$\sqrt{x^2-a^2}$时，
令$x=a\sec t$.
若为一次根式，直接令整体为$t$.

当$\int f(x)\text{d}x$的$f(x)$中含有$\sqrt[m]{x}$与$\sqrt[n]{x}$时，
令$\sqrt[\lambda ]{x}=t$，其中$\lambda$为$m$与$n$的最小公倍数。

切记对$\mathrm{d}x$也要按照关系式换元
完成积分后, 将x按照三角形几何关系回代（亦可使用反函数，但三角几何更加简洁）